1. 조건 명제 (Conditional Proposition)
ㅇ 가정 조건과 결론 조건을 연결하는 특정한 형태의 주장
※ 논리적 추론의 기본 단위로 사용됨
2. 조건 명제의 표기 및 표현
ㅇ (표기) 조건 (Conditional), 함의 (Implication) : →
- `가정,전제 (hypothesis,antecedent)` → `결론,결과 (conclusion,consequent)`
. 이때, 내용적 연관성,인과관계를 완전히 무시하고,
. 오직, 순수한 형식적 연결 만을 따짐
- 例) p → q 라는 명제가 있다고 할 때,
. p,q는, 개별 명제이며,
. 가정인 p와 결론인 q는, 조건 이라고 하고,
. 명제 p → q를 조건 명제 라고 함
ㅇ (표현) 조건 및 함의의 표현 상의 구분
- `p 이면 (conditional) q 이다` (`if p then q`) [조건(conditional)적 표현]
- `p 는 q 를 함축 (imply) 한다` (`p imply q`) [함의(implication)적 표현]
ㅇ (영문 표현)
- "if p then q" (가설을 강조하는 형식)
- "p only if q" (결론을 강조하는 형식)
- "p imply q" (암시/내포를 강조하는 형식)
3. 조건 명제의 진리표 (truth table of conditional proposition)
ㅇ 전제 p가 거짓이면, 결론 q의 참과 거짓에 관계없이, 항상 참 임
- 만일, 가정이 거짓이면, 나타난 결과가 어떻든, 이때의 진술(조건문)은 항상 참이 됨
ㅇ 전제 p가 참이면, 결론 q가 참일 때 만, 참 임
- 만일, 가정이 참이면, 나타난 결과가 참이어야 만, 이때의 진술(조건문)은 참이 됨
ㅇ 전제 p가 참이고, 결론 q가 거짓일 경우에 만, 거짓 임
- 만일, 가정이 참인데도 불구하고, 나타난 결과를 거짓으로 하면, 이 진술(조건문)은 거짓 임
※ (조건 명제 진리표 요약)
- 전제 p가 거짓이거나, 결론 q가 참인 경우에만, 참 임
. 즉, "(not p) or q"
- 전제가 거짓이면, 결론이 참이든 거짓이든 관계없이, 항상 참 임
- 결론이 참이면(성립하면), 항상 참임
- 둘 다(전제,결론)이 참이면(성립하면), 항상 참임
ㅇ 例)
- p : "3은 홀수이다", Q : "3은 자연수이다"
. 조건 명제 p→q : "3이 홀수이면, 3은 자연수이다" → 참 (둘 다 참)
- q : "4는 홀수이다", Q : "4는 자연수이다"
. 조건 명제 p→q : "4가 홀수이면, 4는 자연수이다" → 참 (P가 거짓)
※ 조건 명제의 해석
- 조건이 참일 때만, 결론 q를 논의하며, p가 거짓이면 q의 성립 여부는 중요하지 않음
- 例) "비가 오면 땅이 젖는다" (p→q)
. 비가 오지 않으면 (p가 거짓), 땅이 젖든 말든 이 명제는 참임
4. 필요조건 (necessary condition), 충분조건 (sufficient condition)
ㅇ 만일, 조건 명제 p → q가 참이라면, p ⇒ q 라고 표기하고,
- 이때, p,q는 단순히 조건,결론 이라고 부르기 보다는,
. 필요조건, 충분조건 이라고 함
- 즉, 개별 명제 p는, 개별 명제 q가 되기위한, 충분조건 이라고 함
. "p is sufficient for q"
- 또한, 개별 명제 q는, 개별 명제 p가 되기위한 필요조건 이라고 함
. "q is necessary for p"
5. 필요충분조건 (necessary and sufficient condition)
ㅇ 만일, 쌍 조건 명제 p ↔ q가 참이라면, p ⇔ q 라고 표기하고,
- 이때, p는, q가 되기위한 필요충분조건 이라고 함
ㅇ 따라서, 필요충분조건은 다음과 같은 의미를 갖음
- 둘 다 같음
. 즉, 가정 명제와 결론 명제가 동일함
- 함의와 그 역이 동시에 성립
- 논리적 동치 (Logically Equivalent)
ㅇ 필요충분조건의 표기 : ⇔ , iff, if and only if
ㅇ 필요충분조건(쌍 조건 명제)의 진리표
※ (필요충분조건 진리표 요약)
- 즉, 둘 다 참이거나 거짓일 때 만, 참으로 간주됨
6. [참고사항]
ㅇ (연산자 우선순위)
- 연산자 (→)는, 연산자 논리곱(∧),논리합(∨),논리부정(￢) 보다,
연산자 우선순위가 낮은(늦은) 것으로 함
ㅇ (정리,증명에의 적용)
- `중요한 논리적 함의`는 종종,
. `정리(Theorem)`라고 부르며,
- `정리라는 논리적 함의의 타당성을 확립하는 것`을,
. `증명(Proof)` 이라고 함