1. 함수의 극값의 존재 및 판정 정리
ㅇ 절대 극값 존재 정리 / 최대 최소 존재 정리 : (절대 극값 존재성)
- 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이면,
. f는 [a,b]에서 반드시 절대 극값(최대/최소)을 갖음
- 이때, 절대 극값(초대값/최소값)은,
. 구간 끝점(a 또는 b)이나 임계점(즉, f'(x) = 0 인 점)에서 발생 함
ㅇ 도함수 부호,상대 극값에 관한 정리 : (상대 극값 존재성)
- 어떤 극점 근방의 좌우방향으로, 1계 도함수의 부호가 같다면, 그 점은 함수 f의 상대 극값이 아님
. 즉, 이 경우는, 단조증가 또는 단조감소 임
- 어떤 극점 근방의 좌우방향으로, 1계 도함수의 부호가 다르면, 그 점은 함수 f의 상대 극값 임
. 상대 극점 왼쪽 모든 점이 f'(x) > 0 이고, 오른쪽 모든 점이 f'(x) < 0 이면,
.. 그 점은 함수 f의 극대점 임
. 상대 극점 왼쪽 모든 점이 f'(x) < 0 이고, 오른쪽 모든 점이 f'(x) > 0 이면,
.. 그 점은 함수 f의 극소점 임
ㅇ 2계 도함수에 의한 극대값,극소값 판정 정리 ☞ 오목,볼록 참조
- (a,b)에서 f가 연속이고, f'(c) = 0 일때,
. f"(c) < 0 이면, f(c)는 극대값
. f"(c) > 0 이면, f(c)는 극소값