1. 상 미분방정식(ODE), 편 미분방정식(PDE)
※ 미지 함수(종속 변수,해 함수)가 1 변수 함수인지 다변수 함수인지에 따른 분류
ㅇ 상 미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE)
- 미지 함수의 도함수를 포함하는 방정식
. 1개 독립변수(x), 1개 이상의 종속변수(y)의 도함수 만을 포함
- 일반 형태 : F(x,y,y',...,y(n)) = 0
. 例) dy/dx + 4y = ex
* 통상, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 지칭함
ㅇ 편 미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)
- 미지 함수의 편 도함수를 포함한 미분방정식
. 2개 이상의 독립변수(x,y,...), 1개 이상의 종속변수(u)의 편 도함수를 포함
- 일반 형태 : F(x,y,u,u,u) = 0
. 例) ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0
. 例) 열전도 방정식, 파동 방정식 등
2. 1계 미분방정식, 2계 미분방정식(고계 미분방정식)
ㅇ 1계 미분방정식 : y' = f(x,y)
- 최고계 미분항(도함수)이 1계 미분인 미분방정식
ㅇ 2계 미분방정식 (고계 미분방정식) : y" = F(x,y,y')
- 최고계 미분항(도함수)이 2계 미분인 미분방정식
* 2계 미분방정식은, 2계 이상의 고계 미분방정식 풀이의 기초가 됨
3. 연립 미분방정식 (system of differential equations)
ㅇ 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나,
- 공통의 해를 갖는 미분방정식
4. 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
ㅇ 선형 미분방정식
- 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수(coefficient)가 독립변수 만의 함수
- 例) 4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex
ㅇ 비선형 미분방정식
- 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌 멱 지수를 갖을 때나,
계수가 종속변수를 포함하거나,
비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때
- 例) xydy/dx + 2y = sin x
5. 제차(Homogeneous,균질,동차), 비제차(Nonhomogeneous,비균질,비동차)
ㅇ 제차 선형 미분방정식
- 例) y′+ p(x) y = 0
ㅇ 비제차 선형 미분방정식
- 例) y′+ p(x) y = r(x) ≠ 0
. r(x) : 강제함수(Forcing Function),구동함수(Driving Function)라고도 함
6. 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
※ 계수(係數, coefficient)가 상수 또는 변수인지를 구분
ㅇ 상수계수(constant coefficient)를 갖는 미분방정식
- 例) a y″+ b y′+ c y = g(x)
- [참고] ☞ 특성방정식 참조
ㅇ 변수계수(variable coefficient)를 갖는 미분방정식
- 변수계수를 갖는 2계 미분방정식 형태
. 일반형 : p(x) y″+ q(x) y′+ r(x) y = f(x)
. 표준형 : y″+ p(x) y′+ q(x) y = g(x)
- [참고] ☞ 급수 참조
7. 특별한 이름을 갖는 미분방정식
ㅇ 베르누이 미분방정식
- {# dy/dx + P(x)y =f(x)y^n #}
ㅇ 베셀 미분방정식
ㅇ 르장드르 미분방정식 등