1. 자유 낙하 운동
ㅇ 지구 중심을 향하는 중력에 의한 자유 낙하 운동
- (떨어지면서 점점 빨라지는 운동을 함)
2. 자유 낙하 운동의 수학적 모델화
ㅇ 뉴튼의 제2법칙에 의해 유도되며, 1계 미분방정식 형태를 갖음
[# \sum F = \frac{dp}{dt} = F_D - F_U = ma #]
- {#\sum F = dp/dt#} : 모든 외력 = 운동량의 시간적 변화
- {#F_D#} : 중력 (아래로 작용하는 힘)
- {#F_U#} : 공기 제동력 (위로 작용하는 힘)
- {#F = ma#} : 외력에 의한 물체의 운동에 대한 거동 표현식 (뉴튼의 제2법칙)
3. 자유 낙하 운동의 운동방정식 표현
ㅇ 최종적으로 유도되는 운동 방정식은, 처음의 방정식을 단순하게 변형시킴
- 즉, 힘(외부력,복원력 등)을 상쇄 또는 다른 물성 변수(점성제동계수,질량 등)로 대체시킴
ㅇ 따라서, 운동방정식은, 다음과 같이 표현됨
- 공기 저항 있는 경우 : {# dv/dt = g - (c/m) \, v #} or {# d^2 s / dt^2 = g - (c/m) \, v #}
- 공기 저항 없는 경우 (자유 낙하) : {# dv/dt = g #} or {# d^2 s / dt^2 = g #}
. v : 낙하 속도, s : 낙하 거리, t : 시간
. g : 중력 가속도 (9.8 m/s2) ☞ 중력장 참조
.. 중력의 힘에 비례하나, 위치에 따라 달라짐
. c : 공기의 점성제동계수 또는 항력계수
.. 제동력 : {# F(\dot s) = - c \, \dot s = - c \, v #}
.. (공기 저항이 낙하 속도에 선형적으로 비례한다고 봄)
. m : 물체 질량
4. 자유 낙하 운동방정식에서, 미분방정식 풀이
ㅇ (낙하 속도)
- 양변을 한 번 적분하고, 초기값을 대입하여 ( 초기값 : v(0) = v'(0) = 0 ), 특수해를 얻음
. {# v = gt #}
.. 낙하 속도 : 1초 후 9.8 m/2, 2초 후 19.6 m/s2
.. (시간이 지남에 따라, 중력 가속도의 배수로 점점 빨라짐)
ㅇ (낙하 거리)
- 양변을 두 번 적분하고, 초기값을 대입하여 ( 초기값 : s(0) = s'(0) = 0 ), 특수해를 얻음
. {# s = 1/2 \, gt^2 #}
.. 낙하 거리 : 1초 후 4.9 m, 2초 후 19.6 m
.. (시간 제곱으로 지남에 따라, 중력 가속도의 1/2 배수로 점점 커짐)
ㅇ (낙하 속도,거리 간의 관계식)
[# s = 1/2 \, g\,t^2 = 1/2 \, g\,(v/g)^2 = \frac{v^2}{2g} \\
v^2 = 2gs \quad v = \sqrt{2gs} #]