Center of Mass   질량 중심

(2024-10-29)

Center of Gravity, 무게 중심, Reduced Mass, 환산 질량


1. 무게 중심, 질량 중심 이란?무게 중심 (Center of Gravity)
     - 질점들의 무게의 합이 작용하는 점
        . 각 질점들의 무게가 집중된 점에 대해 1개의 등가 으로 대체 가능

  ㅇ 질량 중심 (Center of Mass)
     - 질점계(입자계)의 모든 질량이 모여있는 곳
        . 동역학에서, 강체운동을 대표할 수 있는 질점

     * 부피를 갖는 물체의 운동 묘사는 복잡하여, 이를 단순화시키기 위해 도입된 개념 임
        . 주요 적용 : 입자계, 강체 등

  ※ 한편, 
     - 무게 중심과 질량 중심은 일치하나,
        . 무게 중심은 중력 있을 때 만 정해짐
     - 물체의 기하학적인 중심은,  ☞ 도심 (Centroid) 참조


2. 질량 중심의 역학적 특징질점계의 모든 질량이, 
     - 이 점으로만 모여있고,
     - 외부의 모든 이, 이 점으로만 작용하는 것 처럼 보이고,
     - 마치 모든 질점들을 대표하는, 특별한 점 처럼 행동함

  ㅇ 때론, 질량 중심이, 물체가 차지하는 공간 밖에 있을 수도 있음

  ㅇ 다만, 
     - 병진 운동에 한해서 만, 질량 중심을 질점계등가질점으로 취급할 수 있음
     - 회전 운동시에는, 질량 중심을 질점계등가질점으로 취급 않음
        . 질량 중심은 물체의 질량 분포에 따라 달라짐
        . 질량 분포에 따라 회전 관성이 영향을 받음
        . 질량 중심이 아닌 특정 지점에서 회전 가능함 (회전축의 선택이 중요)
        . 외부  존재시에, 질량 중심은 의 작용점에 따라 다르게 반응할 수 있는 등 


3. 질량 중심의 위치 좌표에 대한 벡터 표현식

     
[# \mathbf{r}_{cm} \; = \frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots+m_n\mathbf{r}_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n} \\ \qquad = \frac{\sum^n_{i=1}m_i\mathbf{r}_i}{M} \qquad \left( M=\sum^n_{i=1}m_i\right) #]
4. 환산 질량 (Reduced Mass) ㅇ 두 물체를 하나로 통합하여 표현하는 방법 - 이체 문제 (two-body problem)를 일체 문제 (one-body problem)로 쉽게 풀이하기 위함
[# μ = \frac{1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} #]
* (특징) 환산 질량은, 두 물체 중 가벼운 물체의 질량 값에 가까워짐
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[질점계 운동]1. 질점계   2. 질량 중심  

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