1. 자연수
ㅇ 양의 정수(positive integer) = 자연수(natural number) : N = { 1,2,3,... }
※ 자연수는, 수학에서 가장 기본적인 수 집합 중 하나로,
-산술 및 수론의 기본적인 구조를 형성하는 주요 소재로 사용됨
2. 자연수 성질
ㅇ 계수성 (計數性, Countable) : 갯수를 세는 것
- 수를 헤아릴 수(셀 수) 있는 성질
. 정수(整數), 유리수(有理數), 실수(實數)에는 없는 자연수 고유의 성질
ㅇ 대소 관계 있음
- 작은 것부터 차례대로 선택이 가능
ㅇ 무한 집합 임
- 자연수는 그 집합의 모든 수를 나열할 수 없으므로 무한 집합 임
3. 자연수에 대한 엄밀한 정의
ㅇ 페아노 공리계 (Peano's Axioms) (1899년)
- 자연수의 개념을 공리적으로 규정한 5가지 공리
ㅇ 자연수 전체의 집합에 대해 다음과 같이 공리적으로 규정할 수 있음
- 공리 1 (자연수 집합이 공집합이 아님을 말해줌)
. N ≠ ∅ 이고, 1 이라는 특별한 원소를 갖음 (1 ∈ N)
- 공리 2
. 모든 자연수는 그 다음 자연수(successor:계승자)를 오직 하나만 갖음 (n* ∈ N)
- 공리 3 (자연수가 최소 원소를 갖음을 나타내는 공리 임)
. 1을 그 다음(계승자)으로 갖는 어떤 자연수도 없음 (n* ≠ 1)
- 공리 4 (자연수가 일정 간격으로 전개됨을 보장해 주는 공리 임)
. 두 자연수의 다음 수들이 같다면, 두 수는 서로 같음 (m* = n* → m = n)
. 또는, 두 자연수가 다르면 다음 수도 서로 다름
- 공리 5 (자연수의 귀납적 정의로써, 자연수 집합의 유일성을 보장해 주는 공리 임)
. 어떤 자연수들의 집합이 1을 포함하고,
. 모든 원소에 대해 그 다음 수를 항상 포함한다면,
. 그 집합은 자연수 집합이 됨
. (또는, 이와 같은 성질들을 갖는, 자연수 부분집합의 존재성을 말해줌)
※ 주세페 페아노 (Giuseppe Peano, 1858~1932) : 이탈리아 수학자