1. 선형 및 비선형 미분방정식의 구분
ㅇ 선형 미분방정식 (Linear Differential Equation)
- 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수가 독립변수 만의 함수
* 선형 미분방정식 형태 例)
. 例 1) 4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex : 2계 변수계수 선형 미분방정식
. 例 2) a2(x) d2y/dx2 + a1(x) dy/dx + a0(x) y = f(x) : 2계 변수계수 선형 미분방정식
ㅇ 비선형 미분방정식 (Nonlinear Differential Equation)
- 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌 멱 지수를 갖을 때나,
- 계수가 종속변수를 포함하거나,
- 종속변수의 비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때
* 비선형 미분방정식 형태 例)
. 例 1) xydy/dx + 2y = sin x (y와 dy/dx가 곱의 형태로 1차가 아님)
. 例 2) d2y/dx2 + (dy/dx)2 = 1 (dy/dx의 제곱을 포함하여 1차가 아님)
. 例 3) (1-y)dy/dx + 3y = ex (첫번째 항의 계수가 종속변수 y를 포함)
. 例 4) dy/dx + sin y = 0 (sin y 항이 비선형 함수임)
. 例 5) dy/dx = yn (종속변수 y가 2차 이상의 지수항을 포함)
2. 선형 미분방정식의 형태 및 종류
ㅇ `변수 계수`를 갖는 n계 선형 미분방정식 (n-order, linear)
[# a_n(x) \frac{d^n y}{d x^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots
+ a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = g(x) #]
- 모든 계수가 x 만의 함수
- y 및 그 도함수는 1차(1승) 이내 만 가능
- 한편, an(x) = 1 이면, `표준형` 이라고 함
ㅇ `상수 계수`를 갖는 미분방정식 (constant coefficient)
[# \frac{d^n y}{d x^n} + a_1 \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots
+ a_{n-1} \frac{dy}{dx} + a_n y = R(x) #]
- 모든 계수가 상수 만의 함수
3. 제차 선형 미분방정식의 특징 (homogeneous,linear)
ㅇ 중첩의 원리
- 각 개별 해 y1,y2,...,yk의 일차결합이 다시 그 해가 됨
. y = c1y1+c2y2+...+ckyk
. 한편, 개별 해 y1의 임의 상수배 y = c1y1도 해가 됨
4. 선형 미분방정식의 풀이
ㅇ 해의 여러가지 성질을 특징지어서 풀 수 있는 여러 표준적인 방법들이 가능함
- 1계 선형 미분방정식의 풀이 例)
. {# y' + p(x) y = g(x) #}
. {# e^{\int p(x) dx} #}를 양변에 곱하면,
. {# e^{\int p(x) dx} y'(x) + p(x) e^{\int p(x) dx} y(x) = g(x) e^{\int p(x) dx} #}
. {# \frac{d}{dx} \left( y(x) e^{\int p(x) dx} \right) = g(x) e^{\int p(x) dx} #}
. 양변을 적분하면,
. {# y(x) e^{\int p(x) dx} = \int \left( g(x) e^{\int p(x) dx} \right)dx + C #}
. 따라서, 일반해는,
. {# y(x) = e^{- \int p(x) dx} \int \left( g(x) e^{\int p(x) dx} \right)dx + C e^{- \int p(x) dx} #}
- 2계 이상의 고계 미분방정식의 풀이
. 상수계수인 선형인 경우에서 만 비교적 쉽게 풀이할 수 있음
. 변수계수이거나, 비 동차형이면 복잡해짐