1. 체 (Field)
ㅇ 원소들 간의 덧셈,곱셈의 연산 결과가 다시 그 안에 있는 (닫힘성)을 갖는 대수적 구조
ㅇ 쉽게,
- 원소들이 집합을 이루면서, (수,벡터 등과 같은 수학적 대상들의 집단)
- 덧셈과 곱셈 연산 두 쌍을 자유롭게 사용할 수 있고, (2개 연산자 사용)
- 각 원소가 0이 아닌 원소로 나눌 수 있는, (곱셈 역원 존재)
- 대수적 구조 (집합과 연산을 한정지어 결합시킨 개념)
* 즉, 0으로 나누는 것을 제외하고는, 사칙연산을 비교적 자유롭게 사용 가능한 대수적 구조
ㅇ 체의 응용 例)
- 실수 R, 유리수 Q, 복소수 C와 같이 자주 접하는 수학적 대상에 대해서,
- 이들 수 집합과 그 위에서 이루어지는 연산을 함께 고려하고,
- 이로써 드러나는 성질들의 추상화에 유용함
ㅇ 체의 표기 : F
2. 체 공리 (Field Axiom)
ㅇ 덧셈 연산(+)에 대해 : ( F, + )
- ① 닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(+) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
- ② 덧셈 항등원(`0`)이 존재 (identity) : a + 0 = a = 0 + a
- ③ 모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 (inverse) : a + (-a) = 0 = (-a) + a
- ④ 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a + b) + c = a + (b + c)
- ⑤ 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a + b = b + a
ㅇ 곱셈 연산(x)에 대해 : ( F, · )
- ⑥ 닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(x) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
- ⑦ 곱셈 항등원(`1`)이 존재 (identity) : a·1 = a = 1·a
- ⑧ 0 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원이 존재 (inverse) : a a-1 = 1 = a-1 a if a ≠ 0
- ⑨ 0 이외의 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a b) c = a (b c)
- ⑩ 0 이외의 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a b = b a
ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(x) 연산에 대해 : ( F, +, · )
- ⑪ 뎃셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립 (distributivity) : a (b + c) = a b + a c
3. 체, 가환군(아벨군), 가환환, 환 비교
ㅇ 체 공리를, 가환군(아벨군)으로 짧게 표현하면,
- ① 덧셈에 대해 덧셈 항등원(0)을 갖는 가환군(아벨군)
- ② 곱셈에 대해 F*(0 이외 원소들)이 곱셈 항등원(1)을 갖는 가환군(아벨군)
- ③ 덧셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립
ㅇ 체 공리를, 가환환으로 짧게 표현하면,
- ① 가환환이 0 이외의 모든 성분에 대해 각각 곱셈 역원이 존재할 때 => 체(Field)
ㅇ 환 공리를, 체 공리로써 짧게 표현하면,
- ① 체 공리 중 곱셈의 역원 존재를 제외한 나머지 공리들을 만족하는 경우 => 환(Ring)
* 결국, 환(Ring)이, 가장 일반적인(제약이 좀 덜한) 대수 구조 임
4. 체의 성질
ㅇ 체는 최소 다음 둘 만으로도 구성 가능
- 덧셈군, 곱셈군
. 각 군 마다 항등원 필요 : 덧셈 항등원 (0), 곱셈 항등원 (1)
- 즉, 최소 2개 요소는 필요함 : {0, 1}
ㅇ (응용상 중요한 성질) : 각 원소(성분)가 역원을 갖음
ㅇ (자주 보게되는 성질들)
- a·0 = 0·a = 0
- a≠0,b≠0 일 때, a·b ≠ 0
- a·b = 0,a≠0 일 때, b = 0
- -(a·b) = (-a)·b = a·(-b)
- a≠0,a·b = a·c 일 때, b = c
5. 체 공리의 성립 여부 例
ㅇ 유리수체 Q : 유리수 전체의집합
- 덧셈에 대해서,
. 닫혀있고, 결합법칙,교환법칙 성립, 항등원(0) 존재, 모든 원소에 역원(-a) 존재
- 곱셈에 대해,
. 닫혀있고, 결합법칙,교환법칙 성립, 항등원(1) 존재, 0 이외 모든 원소에 역원(a-1) 존재
- 덧셈에 관한 곱셈의 분배법칙이 성립
ㅇ 실수체 R : 실수 전체의 집합
ㅇ 복소수체 C : 복소수 전체의 집합
ㅇ 정수 Z : 체 공리 중 역원이 존재 않을 수 있으므로(예,½은 정수 아님), 체가 아님
6. [참고사항]
ㅇ 무한체, 유한체
- 무한체 : 무한개 원소들을 갖는 체
. 例) 실수체, 유리수체, 복소수체, 체 위의 유리함수 등
- 유한체 : 유한개 원소 만을 갖는 체 ☞ 유한체(갈로이스체) 참조
ㅇ 원소
- 벡터공간의 원소들은, 벡터(Vector) 이고,
- 체의 원소들은, 스칼라(Scalar) 임
ㅇ 체의 부분집합 개념은, ☞ 부분체,확대체 참조
- 그 기본 구조를 그대로 유지하며, 보다 작은 체 / 확대할 수 있는 체