Trigonometric Function   삼각 함수

1. 삼각 함수 (Trigonometric Function) 이란?

  ㅇ [ 함수 관점 : `각도의 함수` ]
     - 각도의 함수로써, 각도와 변의 길이 比를 연관시킴
        . 삼각형에서, 실수 또는 라디안 각도가, 그 변의 길이 비율 값(차원 없는 수)과 대응됨

     * 例) 직각 삼각형의 세 변의 비(比)로써 정의되는 함수
        . 사인 함수 (정현 함수)   :  sin θ = 대변/빗변
        . 코사인 함수 (여현 함수) :  cos θ = sin (90 - θ) = 밑변/빗변
        . 탄젠트 함수             :  tan θ = 대변/밑변

  ㅇ [ 함수 관점 : `주기 함수` ]
     - 단위 원 상의 회전에 대응되는 `주기 함수`
        . 즉, 반복성을 갖는 함수

  ㅇ [ 해의 관점 : 미분방정식 해로써의, 삼각함수 ]   ☞ 아래 4.항 참조
     -  {# y'' + y = 0 #}

  ㅇ [ 응용 관점 : 주기성이 있는 현상에 대한 모델화 등 ]
     - 원 또는 매끄러운 앞뒤 운동 등

         

        . [참고] ☞ 위상(θ=ωt), 각주파수(ω=2π/T), 시간주기(T) 참조


2. 삼각 함수의 특징

  ㅇ 주기성 
     - 진폭이 +1,-1 사이에서 진동하는 모양을 갖으며,
     - 그 주기는 2π 임

  ㅇ 위상편이성 
     - sin θ = cos (θ - π/2)  또는  sin (π/2 - θ) = cos θ
        . 사인함수는 코사인함수를 우측으로 90˚ 또는 π/2 라디안 만큼 편이시킨것
     - sin (π - θ) = sin θ

  ㅇ 대칭성
     - 사인함수는 기함수(Odd Function)    :  sin(-θ) = - sin θ
     - 코사인함수는 우함수(Even Function) :  cos(-θ) = cos θ


3. 삼각 함수의 일반 공식

  ※ ☞ 삼각함수 항등식 참조
     - 덧셈 정리, 比 관계, 역수 관계, 피타고라스 정리, (곱셈 덧셈),(덧셈 곱셈) 변환 정리 등


4. 삼각함수의 미분방정식 급수해

  ㅇ 미분방정식 형태                                   ☞ 단순조화파 참조
     -  {# y'' + y = 0 #}

  ㅇ 미분방정식 급수해법 풀이에 의한 해

     - 두 개의 독립해로 나타남 : 급수해에 의한 함수 표현
         
[# \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} #]
         
[# \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} #]

     - 일반해 : 두 개의 독립해의 선형결합
         
[# y = A \sin x + B \cos x #]


5. 삼각 함수의 급수 표현   ☞ 삼각 급수 (Trigonometric Series) 참조

     
[# \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} 
                 = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots #]
       
     
[# \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} 
                 = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots #]
     
[# \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots \quad (|x|<π/2) #]


6. 삼각 함수의 라플라스 변환 쌍

     
[# \sin ωt\;u(t) \quad \stackrel{\small{L}}{\longleftrightarrow} \quad
                                                                          \frac{ω}{s^2+ω^2} \\
        \cos ωt\;u(t) \quad \stackrel{\small{L}}{\longleftrightarrow} \quad
                                                                          \frac{s}{s^2+ω^2} #]

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