Pole Zero   극점 (Pole), 영점 (Zero), 극점 , 영점 , 극점 및 영점

1. `회로망함수` 또는 `전달함수`의 표현식

   
[# H(s) = \frac{N(s)}{D(s)}
           = \frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}
           = K\frac{(s-z_1)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)\cdots(s-p_n)} #]

  ※ 위 표현식의, 대상 시스템을 LTI(선형 시불변 시스템)으로 제한하여 가정하면,
     - 전달함수 H(s)는,  `유리함수` 이고,
     - 분모,분자 다항식의 각 계수 a,b는,  `실수 계수` 이며,
     - 분모,분자 다항식은,  극점,영점으로 `인수분해된 형태`를 취할 수 있음


2. 영점 및 극점 이란?

  ㅇ 영점 (Zero)  :   z 
     - 분자 다항식 N(s)의 근(根), 이때의 회로망함수 크기는 0
        . 이때 응답이 사라지므로, 전송 영점 (transmission zero) 이라고도 함
           .. 전송 영점들은 흔히 jω 축 상의 점(저지 주파수)에서 나타남

     - 영점은 강제응답의 형태를 결정
        . 시스템 출력과 그 입력의 연관 관계를 설명해 줌

     * 분자 다항식 N(s)의 형태 및 근(영점)에 따라, 필터 종류 구분 가능
        . 즉, LPF, HPF, BPF, BSF, APF 로 구분이 가능  ☞ 2차 시스템 참조

  ㅇ 극점 (Pole)  :   p 
     - 분모 다항식 D(s)의 근(根), 이때의 회로망함수 크기는 무한대
        . 이때 응답이 무한대로 커짐에 따라, 안정성 해석에 매우 중요

     - 극점은, 고유응답(과도응답)의 형태를 결정
        . 시스템 고유 성질이 이를통해 설명됨
        . 주로, 극점에 의해 시스템의 과도응답,안정도 등 동작 특성이 지배를 받음

     * 폐루프 전달함수의 분모 다항식을 영으로 놓은 것은, 다음 여러 등가적인 표현 가능
        . 극점 = 폐루프 전달함수의 극 = 특성방정식의 근(根) = 시스템의 자연주파수(고유주파수)


3. 극점 및 영점의 주요 특징

  ㅇ 영점,극점은 `실수` 또는 `공액 복소수` 이어야 함
     - 분모,분자 다항식의 각 계수가 실수이므로,
       . 영점,극점은 `실수` 또는 `공액 복소수 쌍`이어야 함
     - 복소평면 상에 위치 표현 가능

  ㅇ 시스템 특성에 만 의존적
     - 영점,극점은, `인가신호`나 `초기조건`과는 관계없이, 단지 시스템 특성에 만 의존
     - 따라서, 시스템 특성을 살펴볼 때 중요함

  ㅇ 복소평면 상의 영점,극점의 위치가 중요함
     - 영점,극점의 위치로써, 시스템 응답 특성의 미묘한 차이를 알 수 있음

  ㅇ 임계주파수 파악
     - 주파수응답 상에서 임계주파수(Critical Frequency)를 나타냄

  ※ 특히, 극점은 제어시스템의 시간응답 설계 및 해석에 중요함            ☞ 제어시스템 설계 참조
     - 해석 : 복소평면 상의 극점 위치가 과도응답 성능 및 안정도와 밀접한 관련성 있음 
        . (아래 4.항에서, 극점 위치가 과도응답 특성에 어떤 영향을 주는지 살펴볼 수 있음)
     - 설계 : 적정한 위치로 극점 배치함으로써 제어시스템 설계 목표 달성 가능   ☞ 극점 배치 참조


4. 극점 위치와 과도응답 간의 관계                            ☞ 2차 시스템 과도응답 참조

  ㅇ 극점이 좌반면에 있음  => 감쇠 특성
     - 극점이 음의 실수축에 있음 => 과도감쇠(Overdamped) 
     - 극점이 음의 실수이고 중근 => 임계감쇠(Critically Damped)
     - 극점이 좌반면 복소수      => 미흡감쇠(Underdamped) 
  ㅇ 극점이 허수축에 있음  => 무감쇠(Undamped) 정현파 진동
  ㅇ 극점이 우반면에 있음  => 발산      

    


5. [참고사항]

  ㅇ 회로 내 극점 추가 例)

      

     - 원 회로의 부하에 또는 다단 증폭기의 각 단에 병렬로 커패시터를 결합하면,
        . 이것이 극점 추가 효과를 줌                          ☞ 결합 커패시터 참조

  ㅇ All-pole 이란?

     - 전 극점 시스템 (All-Pole System)
        
        . 시스템 함수가 오직 극점들 만을 갖는 경우 (N개의 극점을 포함)
           .. 즉, 분모 다항식에 만 근이 있음 (all poles, no zeros)
           .. 계수 파라미터 {b}에 의해 결정됨
        . 디지털시스템인 경우
           .. 유한 임펄스응답(FIR) 형태를 갖으므로, 
           .. 이를 FIR 필터 또는 이동평균 필터 라고도 함

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