1. 분산 (Variance)
ㅇ 자료들이 불규칙하게 분포하는 정도를 나타내는 통계량
- 자료들이 기대값(평균값)으로부터 얼마나 퍼져 있는가를 가늠해 볼 수 있음
. 분산이 클수록 자료 집단에 변화가(변동성이) 큼을 나타냄
2. 분산의 활용
ㅇ 산포의 경향을 알기위해 분산 및 표준편차가 많이 사용됨
- 주어진 자료들의 평균, 최소, 최대 값 만으로는 자료 특성 파악이 어려움
- 특히, 자료들의 산포(흩어짐)의 경향 또는 자료가 평균을 중심으로 어느정도 흩어져 있는가
- 등을 알고자 할 때가 그런 경우임
3. 분산의 표현
ㅇ 분산 이란?
- 편차 제곱 합(변동)을 데이터 수로 나눈 값 ☞ 변동성(Variability) 참조
ㅇ 즉, 분산은 제곱된 편차들의 산술평균 임
- 편차 = (데이터값) - (데이터들의 평균값)
- 변동 = (편차 제곱 합) = (편차 1)2 + (편차 2)2 + ...
- 분산 = (변동) / (데이터 수) = (편차 제곱 합) / (데이터 수)
* 결국, 분산은, 변동성(Variability) 개념을 평균 개념으로 요약한 것임
ㅇ 분산의 표기
- 보통 Var[X] 또는 σX2 또는 σ²또는 S2 등으로 표기
ㅇ 분산의 표현식
- Var[X] = E [(X-μX)2] = < (X-μX)2 > = σX2
. 즉, 편차(평균에서 떨어진 거리)의 제곱의 기대값과 같음
- 한편, 행렬,벡터에 의한 분산의 표현식
. 편차 벡터 : x = (x1 - x̅, ... , xn - x̅)
. 분산 : Var[X] = (1/n) xTx = (1/n) <x,x>
4. 분산과 산포 형상 간의 의미
ㅇ 분산이 0 에 가까울수록,
- 자료의 산포 변동이 심하지 않으며,
- 대체로 자료들이 평균에 몰려 있음을 의미함
5. 분산의 계산식
ㅇ 자료 분산 (Data Variance) = (편차 제곱 합) / (자료의 수)
[# S^2 = \frac{\sum\limits^{N}_{i=1} (X_i-\bar{X})^2}{N-1} #]
- (N : 자료 개수, N-1 : 자유도, X- : 자료 평균)
ㅇ 모 분산 (Population Variance)
[# σ^2 = \frac{\sum\limits^{N}_{i=1} (x_i-μ)^2}{N} #]
- (N : 모집단 개수, μ : 모 평균)
ㅇ 표본 분산 (Sample Variance)
[# s^2 = \frac{\sum\limits^{n-1}_{i=1} (x_i-\bar{x})^2}{n-1} #]
- (n : 표본 개수, n-1 : 자유도, {#\bar{x}#} : 표본 평균)
6. 분산의 성질(관계식)
ㅇ Var[X] = E[X2] - (E[X])2 = E[X2] - μX2
ㅇ Var[X] = E[X(X-1)] + E[X](1 - E[X])
ㅇ Var[aX + b] = a2 Var[X]
ㅇ Var[X - Y] = Var[X] + Var[Y] - 2 Cov[X,Y]
- (Cov[X,Y] : 공분산)