Impulse Function, Impulse Signal, Dirac Delta Function, Unit Delta Function, Kronecker Delta, Unit Sample Sequence   임펄스 함수, 디렉 델타 함수, 임펄스 신호, 임펄스 수열, 크로네커 델타 함수

1. [함수]  임펄스 함수  =  디렉 델타 함수

  ㅇ t = 0 에서 폭이 0 이며 무한대 크기를 갖고, 그 이외에서 크기가 0 이고,
         
[# δ(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \infty & (t=0) \\ 
                                              0 & (t≠0) \end{array} \right. #]
  ㅇ 전체 면적은 1 임
         
[# \int^{\infty}_{-\infty} δ(t) dt = 1 #]

  ㅇ 사실상, 함수라기 보다는 분포(distribution) 또는 일반화 함수(generalized function) 임
     - 즉, 함수 자체에 값을 부여할 수 있는 보통의 함수와 달리, 함수 값의 분포를 나타냄
        . 따라서, 다른 함수와의 적분 등  연산과 관련될 때 만 그 의미가 있음
             
[# \int^{\infty}_{-\infty} δ(t)f(t) dt = f(0) #]

     - 결국, 한 순간에서만 무한의 값을 갖고, 나머지에서는 0 인 일종의 일반화된 분포 함수

  ㅇ 비록, 잘못된 명칭이긴 하지만, 
     - 임펄스 함수(impulse function), 델타 함수(delta function),
       디랙 델타 함수(Dirac delta function) 등 함수라고 표현하는 용어를 흔히 사용 함
          
  ※ 영국의 이론물리학자 디렉(Paul Adrien Maurice Dirac,1933년 노벨물리학상)이 정의한 바 있음


2. [선형대수]  크로네커 델타 함수

  ㅇ 디렉 델타 함수의 이산형(離散型)
  
       

  ※ 레오폴드 크로네커 (Leopold Kronecker,1823~1891) : 독일 태생의 수학자


3. [이산시간]  임펄스 수열

  ㅇ 이산시간 임펄스(discrete-time impulse) 또는 단위 샘플 수열(unit sample sequence)
     또는 단위 임펄스수열 (unit impulse sequence) 등 으로 불리움
       

  ㅇ 이산시간 마다 나타나는, 임의 수열을 임펄스 수열로 표현 가능
       
     - 즉, 모든 수열은 단위 임펄스 수열 δ[n]을 상수배(크기 조정) x[k]하고 지연시킨 
           수열 δ[n-k]들의 합으로 표현 가능


4. [성질]  임펄스 함수의 성질

  ㅇ 우함수 특성
     -   δ(t) = δ(-t)
        . 좌우 대칭

  ㅇ 이동 특성(Shifting) 또는 샘플링 특성(Sampling)
       
     - 이동특성 : 함수 g(t)를 g(t0)로 이동시킴
     - 샘플링특성 : 모든 t에 대해 g(t)δ(t-t0)의 적분값은 단지 t=t0 점에서의
                    함수값 g(t0)로 샘플링한 것과 같음

  ㅇ 복제 특성 
     -   g(t) * δ(t) = g(t)
        . 어떤 함수를 델타함수와 컨벌루션하면 그 함수는 아무런 변화가 없음

  ㅇ 푸리에 변환 쌍
     -   δ(t)  ↔  1 
        . 시간영역의 델타함수는 전체 주파수 영역에서 스펙트럼 특성이 균일함

  ㅇ 계단함수의 도함수는 임펄스함수가 됨
       

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