Matrix Multiplication, Matrix Product   행렬 곱셈

1. 행렬 곱셈 이란?

  ㅇ 의미
     - 두 행렬에서 좌측 행렬의 행(row)에 우측 행렬의 열(column)을 곱하는 것
        
     - 즉, 각각의 두 벡터(행 벡터,열 벡터)를 곱하는 내적과 같음

  ㅇ 표기 : AB
     - 두 행렬 사이에 연산자 없이, 그냥 AB 라고 나타냄

  ㅇ 성분 : cij
     - {# c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}
                 = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} #}
        . 즉, A의 i번째 행 벡터와 B의 j번째 열 벡터의 내적 임

  ㅇ 크기 : (m x n)
     - (m x r) 행렬 A와 (r x n) 행렬 B의 곱 => (m x n) 행렬 AB
        
[# \begin{matrix} A & B & = & C \\
                          (m \times r) & (r \times n) & & (m \times n) \end{matrix} #]
        . 즉, A의 열의 개수 r = B의 행의 개수 r 이어야 함
        
  ㅇ 존재성
     - 반드시, 행렬 A의 열의 갯수가 행렬 B의 행의 갯수와 같아야 함
        . 만일, 곱해지는 두 행렬 크기가 다르면 행렬 곱셈은 존재하지 않음

  ※ [참고] ☞ 행렬곱셈 알고리즘, 행렬 곱셈 실제 구현 참조


2. 행렬 곱셈의 성질

  ㅇ 비 가환적임 (not communicative) :   AB ≠ BA
     - 즉, 교환법칙이 성립하지 않음 (곱해지는 순서가 중요 함)

  ㅇ 결합법칙,분배법칙 성립함
     - 곱셈 결합법칙    :   A(BC) = (AB)C
     - 스칼라 결합 곱셈 :   k(AB) = (kA)B = A(kB)
     - 좌 분배법칙      :   A(B+C) = AB + AC
     - 우 분배법칙      :   (A+B)C = AC + BC

  ㅇ 곱셈 항등원 :   In A = A = A In (A의 크기는 n x n)

  ㅇ 행렬 지수 곱셈 :  Ak = A A ... A  (행렬 A가 k번 곱해짐)


3. 행렬 곱셈의 의의

  ㅇ 행렬 곱셈은, 
     - 단순히, 수들을 곱하여 얻어진다는 것 그 이상으로,
     - `일차변환(선형변환)`에 사용할 수 있게 하는 수학적 도구 임

  ㅇ 예를들면, 
[#(AB)\mathbf{x}#]
는,
     - 행렬곱셈 (AB)가 벡터 x에 작용하는 어떤 형태의 합성함수로 볼 수 있음

     

      
[# A(B\mathbf{x}) = (AB)\mathbf{x} \\ 
  \qquad B\mathbf{x} = \left[\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{array}\right] \mathbf{x}
         = \mathbf{b}_1\mathbf{x}_1+\mathbf{b}_2\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{b}_n\mathbf{x}_n \\
  \qquad A(B\mathbf{x}) = A \left[\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{array}\right] \mathbf{x} \\
  \qquad AB = A \left[\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{array}\right]
            = \left[\begin{array}{c|c|c|c} A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 & \cdots & A\mathbf{b}_n \end{array}\right] \\
  \qquad AB\mathbf{x} = \left[\begin{array}{c|c|c|c} A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 & \cdots & A\mathbf{b}_n \end{array}\right] \mathbf{x} #]


4. 행렬 곱셈의 열 또는 행 표현법

  ※ ☞ 행렬 곱셈의 열 표현, 행렬 곱셈의 행 표현 참조
     - 통상, 행렬 곱셈은 응용 관점에서 `열 관점 표현`을 많이 씀

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