1. 파동 방정식 (Wave Equation)
ㅇ 끈/현의 떨림, 얇은 판의 진동, 전자기파, 음파 등 자연계에서 나타나는 파동 현상을
수학적으로 설명하는 편 미분방정식
2. 파동방정식의 표현
ㅇ 표현식 : 시간 t에 대한 선형 2계 편미분방정식
[# \nabla^2 u = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} #]
- u는, 파동의 진폭 파형을 나타내는 물리량
. 진동하는 끈 등의 변위 파동
. 전송선로상의 전류파 또는 전압파
. 전자파의 전계 또는 자계
. 음향파,물결파,지진파 등이며,
. 스칼라 또는 벡터일 수 있음
- v는, 전파(傳播)되는 파동 속도
. 음파의 속도 (음속)
. 빛의 속도 (광속)
. 탄성 줄을 따라 전파하는 속도 등
.. (v2 = T/ρ, T : 줄의 장력, ρ : 단위 길이 당 질량)
- ∇2는, 라플라시안(Laplacian Operator)
. 공간 좌표에 관한 2계 미분연산자 (∇2 = ∇·∇ = div·grad)
ㅇ 한편, 특정 파동을 완전하게 묘사하기 위해서는,
- 적당한 초기조건 및 경계조건이 구체적으로 주어져야 함
3. 파동방정식의 특징
ㅇ 시간 및 공간에 대해 불변성(Invariance)을 갖음
- 시간,공간 변수가 변할 수 있어도, 식 자체 형태는 변하지 않음
ㅇ 선형성을 갖음
- 선형방정식 형태 및 특징을 유지함
※ 단, 분산 매질을 통한 파동인 경우에는,
- 식 형태가 달라지며 비선형성이 나타남
- 따라서, 이같은 경우에는 `분산 파동방정식` 이라고 달리 취급됨
4. 파동방정식의 해(解) => 파동함수
ㅇ 파동방정식의 해가 어떤 함수이면, 이 함수는 그에따른 파동을 나타냄
- 이때, 이를 보통 `파동함수(Wave Function)`라고하며, 이는 파동방정식을 항등적으로 만족함
ㅇ 통상, 파동함수는 복소수로 일반화하여 표현되기 때문에, `복소 파동함수`라고도 부름
ㅇ 한편, 가장 간단한 파동 형태를 나타내는 함수로는 단조화함수(조화파)가 있음
5. 파동방정식 例
ㅇ 자유공간 상의 전자기파의 파동방정식 ☞ 전자기파 파동방정식 참조
ㅇ 전송선로 상의 전압파,전류파 파동방정식 ☞ 전송선로 방정식 참조