1. 접선 (Tangent Line), 할선 (Secant Line)
ㅇ (접선)
- 곡선과 직선이 서로 한 점에서 만날 때,
- 이때의 직선을, 곡선의 `접선`이라고 함
ㅇ (할선)
- 곡선과 직선이 두 점에서 만날 때, 곡선을 자르게되는데,
- 이때의 직선을, 곡선의 `할선`이라고 함
2. 기울기 (Slope), 그래디언트 (Gradient)
ㅇ [기하] (수평선에 대해) 기울어진 정도 (measure of the steepness)
ㅇ [미분] 변화율의 척도 (measure of rate of change)
※ [용어 비교]
- slope (기울기) : 주로, 1.2차원 정도에서 단지 기운 정도를 나타내는 용어로 쓰임
- gradient (그래디언트) : 주로, 보다높은 다 차원 함수에 적용되는 용어
3. 곡선 상 어떤 점에서의 기울기
ㅇ 곡선 위 어떤 점 a 근방에서, 할선의 기울기의 극한(m할선→m)이 존재하면,
- 그 점 a에서의 곡선의 기울기 m을 다음과 같이 정의함
[# m = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\
m = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} #]
4. 기울기에 의한, 접선 및 접선의 방정식 표현
ㅇ 위 2.항 처럼, 곡선의 기울기를 갖는 그 점에서의 직선을, `접선` 이라고 함
- 곡선 y = f(x) 상의 점 (a,f(a))에서의 접선은,
- 점 a에서 함수 f의 미분계수인 f'(a)를 기울기로 갖는 직선임
ㅇ 접선 방정식 (Equation of Tangent Line)
- 곡선 y = f(x) 상의 점 (a,f(a))에서의 `접선의 방정식`은,
[# y - f(a) = f'(a) (x - a) \qquad y = f(a) + f'(a) (x - a) #]
[# L(x) = f(a) + m (x - a) #]
5. 기울기는, 함수값이 변화하는 빠르기 정도를 나타냄
ㅇ 함수값의 변화 빠르기 정도 ☞ 변화율
ㅇ (일변수 함수) 일변수 함수의 변화율 => 기울기 (일변수 미분)
ㅇ (다변수 함수) 어떤 장(스칼라함수,벡터함수)에서의 변화율
- 벡터 표현 ☞ 기울기 벡터 : grad f , ▽f
- 벡터 연산 ☞ 기울기 연산 : grad (·) , ∇(·)
ㅇ 한편, 변화율 구분 둘(2)
- 평균 변화율 : 함수에서 두 점 사이의 평균 변화율
- 순간 변화율 : 점 x의 변화에 따라, 그 함수값 f(x)가 시시각각 변하는 비율
6. [참고사항]
ㅇ 기울기를 일반화시킨 이론 ☞ 미분학 (변화율을 다루는 수학의 한 분야) 참조
ㅇ 함수에서 기울기 표현 ☞ 미분계수, 도함수 참조